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Concepts-clés et théorie

DÉFINITION 1 :

Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $\mathscr{B}\subset V$ un ensemble de vecteurs de $V.$ On dit que $\mathscr{B}$ est une base $V$ si les deux conditions suivantes sont vérifiées.

1. Tout $v\in V$ est une combinaison linaire de vecteurs de $\mathscr{B},$ i.e. $\mbox{Vect}\mathscr{B}=V$

2. Le sous-ensemble $\mathscr{B}$ est linéairement indépendant.

EXERCICE 1

Cochez votre réponse puis cliquez sur "Vérifier".

1. L'ensemble $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\end{Bmatrix}$ est une base de $\mathbb{R}^3$ :

ch4_3ex1a()

2. L'ensemble $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\end{Bmatrix}$ est une base de $\mathbb{R}^3$ :

ch4_3ex1b()

3. L'ensemble $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\end{Bmatrix}$ est une base de $\mathbb{R}^3$ :

ch4_3ex1c()

DÉFINITION 2 :

On dit d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $V$ qu'il est de dimension finie s'il possède une base finie. Sinon, on dit que $V$ est de dimension infinie.

THÉORÈME 3 :

Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bases de $V$ sont finies et possèdent le mème nombre d'éléments.

EXERCICE 2

Sélectionnez un ensemble de vecteurs parmi la liste suivante tel que cet ensemble forme une base de $\mathbb{R}^3$ :

$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\ v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\ v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix},\ v_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ v_5 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

(maintenez CTRL pour sélectionner plusieurs cellules à la fois)

ch4_3ex2()

EXERCICE 3

Soit $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ l'ensemble des polynômes de degré $n$ à coefficients réels.

• L'ensemble $\{x, x^2, x^3, ..., x^{n}\}$ est-il une base de $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ ?

ch4_3ex3()

EXERCICE 4

Quelle est la dimension de l'espace engendré par l'ensemble de vecteurs suivant :

$$\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\end{Bmatrix}$$

ch4_3ex4()

Passez au notebook du chapitre 4.4-5. Dimension et base dans un espace de dimension connue